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情報系M1のメモ。機械学習、画像処理、考えた事などなど。

二次形式を行列計算を使って簡単に計算

for文回避 python 行列計算 小技メモ

最近Pythonでプログラム書くときに使った小技のめも。ベクトルは縦ベクトルとする。
{\boldsymbol{x_1},\ \boldsymbol{x_2},\ \cdots,\ \boldsymbol{x_n}}という大きさDの縦ベクトルがn個あり、
{\boldsymbol{A}}という大きさD×Dの行列があったとき、
{y_1, \ y_2, \cdots, \ y_n={\boldsymbol{x_1}}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{x_1},\ {\boldsymbol{x_2}}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{x_2},\ \cdots,\ {\boldsymbol{x_n}}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{x_n}}というn個の二次形式をfor文使わずに求めることを考えます。
{\boldsymbol{X}=(\boldsymbol{x_1}\ \boldsymbol{x_2}\ \cdots\ \boldsymbol{x_n})}という
大きさD×Nを作り、これに{\boldsymbol{A}}を左からかけると
{\boldsymbol{A}\boldsymbol{X}=(\boldsymbol{A}\boldsymbol{x_1}\ \boldsymbol{A}\boldsymbol{x_2}\ \cdots\ \boldsymbol{A}\boldsymbol{x_n})}
というD×Nの行列ができ、
これに左から{{\boldsymbol{X}}^T}というN×Dを左からかけると、N×Nという大きさの（（D×N）×（N×D）＝（N×N））
{{\boldsymbol{X}}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{X}=\\ \left( \begin{array}{c} {\boldsymbol{x_1}}^T \\ {\boldsymbol{x_2}}^T \\ \vdots \\ {\boldsymbol{x_n}}^T \end{array} \right) \ \left( \begin{array}{c} \boldsymbol{A}\boldsymbol{x_1}\ \boldsymbol{A}\boldsymbol{x_2}\ \cdots\ \boldsymbol{A}\boldsymbol{x_n} \end{array} \right)= \begin{pmatrix} {\boldsymbol{x_1}}^T \boldsymbol{A}\boldsymbol{x_1} & {\boldsymbol{x_1}}^T \boldsymbol{A} \boldsymbol{x_2} & \cdots &{\boldsymbol{x_1}}^T \boldsymbol{A} \boldsymbol{x_n}\\ {\boldsymbol{x_2}}^T \boldsymbol{A} \boldsymbol{x_1} & {\boldsymbol{x_2}}^T \boldsymbol{A} \boldsymbol{x_2} & \cdots & {\boldsymbol{x_2}}^T \boldsymbol{A} \boldsymbol{x_n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ {\boldsymbol{x_n}}^T \boldsymbol{A} \boldsymbol{x_1} & {\boldsymbol{x_n}}^T \boldsymbol{A} \boldsymbol{x_2} & \cdots & {\boldsymbol{x_n}}^T \boldsymbol{A} \boldsymbol{x_n}\\ \end{pmatrix} }
となり、欲しい{y_1, \ y_2, \cdots, \ y_n={\boldsymbol{x_1}}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{x_1},\ {\boldsymbol{x_2}}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{x_2}\, \cdots\, {\boldsymbol{x_n}}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{x_n}}が対角成分に存在していることがわかります。
よってnumpyのnp.diag({{\boldsymbol{X}}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{X}})を使って対角成分を抽出すれば対角成分が横に並んだ大きさNの横ベクトルを得られ、目的達成です。
for文を回さずにn個の入力ベクトルxに対するn個の二次形式yを求めることができました。